Закон двойного отрицания был известен еще в античности. В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали его следующим образом: если из отрицания какого-либо высказывания следует противоречие, то имеет место двойное отрицание исходного высказывания, то есть оно само.

В символической форме закон записывается так:

~ ~ A → A,

если неверно, что не – А, то верно А.

Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечет свое двойное отрицание. Например: «Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты».

Символически:

A → ~ ~ A,

если А, то неверно что не – А.

Объединение этих законов дает так называемый полный закон двойного отрицания:

~ ~ A ↔ A,

неверно, что не – А, если и только если верно А.

Законы контрапозиции

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания «если есть первое, то есть и второе» вытекает «если нет второго, то нет и первого», и наоборот.

Символически:

(А → В) → (~ B → ~ A),

если дело обстоит так, что если А, то В, то если не – В, то не – А;

( ~ B → ~ A) → (A → B),

если дело обстоит так, что если не – В, то не – А, то если А, то В.

Например: «Если есть следствие, то есть и причина» следует высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второго высказывания вытекает первое.

К законам контрапозиции обычно относят также законы:

(A → ~ B) → (B → ~ A),

если дело обстоит так, что если А, то не – В, если В, то не - А. Например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

( ~ A → B) → (~ B → A),

если верно, что если не – А, то В, то если не – В, то А. Например: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

Контрапозиция подобна рокировке в шахматной игре. И подобно тому, как редкая партия проходит без рокировки, так и редко наше рассуждение обходится без контрапозиции.

Модус поненс

Слово «модус» в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. «Модус поненс» - термин средневековой логики, обозначающий определенное правило вывода и соответствующий ему логический закон.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого высказывания:

Если А, то В; А

_

В

Здесь «если А, то В» и «А» - посылки, «В» - заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если А, то В. А. Следовательно, В.

Благодаря этому правилу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». Например:

Если у человека грипп, он болен.

У человека грипп.

Человек болен.

Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые оно было сформулировано учеником Аристотеля Теофрастом еще в III веке до н.э.

Соответствующий правилу отделения логический закон формулируется так:

(A → B) & A → B,

если верно, что если А, то В, и А, то верно В. Например: «Если при дожде трава растет быстрее и идет дождь, то трава растет быстрее».

Рассуждение по правилу модус поненс идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логическое корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.