B А

В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции. Ему соответствует логический закон:

(A v B) & ~ A → B,

если А или В и ~ А, то В.

Законы де Моргана

Широкое применение находят законы, названные именем американского логика А. де Моргана и позволяющие переходить от утверждений с союзом «и» и к утверждениям с союзом «или», и наоборот:

~ (A & B) → (~ Av ~ B),

если неверно, что есть и первое и второе, то неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе;

( ~ Av ~ B) → ~ (A & B),

если неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе, то неверно, что есть первое и второе. Объединение этих двух законов дает закон (↔ - эквивалентность, «если и только если»):

~ (A & B) ↔ (~ Av ~ B).

Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».

Еще один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:

~ (A v B) ↔ (~A & ~B),

неверно, что есть первое или есть второе, если и только если неверно, что есть первое, и неверно, что есть второе. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии».

На основе законов де Моргана связку «и» можно определить, используя отрицание, через «или», и наоборот:

- «А и В» означает «неверно, что не – А или не – В»,

- «А или В» означает «неверно, что не – А или не – В».

Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».

Закон приведения к абсурду

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-либо положения путем выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. [3]

Если из высказывания А выводится как высказывание В, так т его отрицание, то верным является отрицание А. например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью».

Закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A → B) & (A → ~B) → ~A,

если (если А, то В) и (если А, то не – В), то не – А.

«Приведение к нелепости, замечает математик Д. Пойа, имеет некоторое сходство с иронией, любимым приемом сатирика: ирония принимает определенную точку зрения, подчеркивает ее и затем настолько ее утрирует, что, в конце концов, приводит к явному абсурду». [3]

Частный закон приведения к абсурду представляется формулой:

(A → ~А) → ~A,

если (если А, то не – А), то не – А. например, из положения «Всякое правило имеет исключения», которое само является правилом, вытекает высказывание «Есть правила, не имеющие исключений»; значит, последнее высказывание истинно.

Закон косвенного доказательства

«Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие». [3] Например: «Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы, так то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число».

Символически закон косвенного доказательства записывается так: